합성함수와 가역함수

합성함수와 가역함수

 

합성함수(Composing Funcitons)

합성함수란 한 가지 함수에 다른 함수를 합성하여 만든 함수를 의미합니다.

예시)

f(x) = x² -1

g(t) = [1:3, 2:-3, 3:4, 4:-1]

h(x) = [4:-1, 3:0, 2:1, 1:2, 0:1, -1:0, -2:-1]

h(g(f(2))) = h(g(2²-1)) = h(g(3)) = h(4) = -1

 

가역함수(Invertible Function)

가역함수란  정의역(Domain)과 치역(Range)을 서로 뒤바꾸어 얻을 수 있는 함수입니다.

예시)

h(x) = [1:2, 2:1, 3:2, 4:5]

상기 함수의 정의역과 치역을 뒤집으면 2의 경우 1과 3 두 가지 다른 값이 나오기 때문에 비가역적입니다.

따라서, 모든 함수가 가역함수가 될 수 없습니다. 일반적으로, 가역함수는 각 대입값에 하나의 유일한 결과값을 가집니다.

그리고 가역함수의 그래프는 해당 함수의 그래프의 x축과 y축을 뒤집은 것이 됩니다.

b = f(a) ⇒ (a,b)

a = f^-1(b) ⇒ (b,a)

 

두 함수가 가역 관계에 있는지 확인하는 방법은 각 함수를 다른 함수에 대입하여 두개의 합성함수를 만들고 두 함수가 같은지 확인하면 됩니다.

f(x), g(x)가 있을 때,

f(g(x)) = g(f(x))이면,

f(x) = g^-1(x)이고 g(x) = f^-1(x)입니다.